003 與小卡特一起學 Python 第 3 章 基本數學運算

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第 3 章　基本數學運算

剛開始在交互模式中使用 Python 時，我們已經看到它可以完成簡單的算數運算。現在來看 Python 還能對數字做些什麼，還能完成哪些數學運算。也許你沒有意識到，不過要知道，數學確實無處不在！特別是在程式設計中，我們一直都在使用數學。這並不是說你必須成為一位數學大師才能學習程式設計，不過可以想想看……每個遊戲都有某種需要累計的分數；在螢幕上繪製圖形時必須使用數位來確定圖形的位置和顏色；移動的物體會有方向和速度，這都要用數字來描述。所有有意思的程式幾乎都會以某種方式使用數位和數學。所以下面就來學習 Python 中有關數學和數字的一些基礎知識。

 

順便說一句，這裡學習的很多知識同樣適用於其他程式設計語言，也可以在試算表之類的其他程式中使用。並不是只有 Python 採用這種方式完成數學運算。

 

3.1　四大基本運算

在第 1 章中我們已經看到 Python 可以做一些數學運算：使用加號（+）完成加法，另外使用星號（*）完成乘法。

如你所料，Python 使用連字型大小（-）（也稱為減號）來做減法：

>>> print 8 - 5

3

 

由於電腦鍵盤上沒有除號（÷），所以所有程式都使用前斜杠（/）表示除法。

>>> print 6/2

3

 

這是對的。不過有時 Python 做除法時會得到意外的結果：

>>> print 3/2

1

 

咦？我還以為電腦精通數學計算呢，原來不過如此！所有人都知道

3 / 2 = 1.5

 

這到底怎麼回事？

嗯，雖然看起來好像很傻，其實 Python 確實想表現得聰明一些。要解釋這個問題，你要知道整數和小數。如果你還不知道它們的區別，先來看看術語箱中簡單的解釋。

術語箱

整數（integer）就是我們平常數數時所說的數，如 1、2、3，另外還包括 0 和負數，如 -1、-2、-3。

小數（decimal number）也稱為實數（real number），這些數有小數點而且後面有小數位，如 1.25、0.3752 和 -101.2。

在電腦程式設計中，小數也稱為浮點數（floating-point number，有時簡寫為 floats，或者如果只有一個浮點數，就簡寫為 float）。這是因為小數點會“浮動”。0.00123456 或 12345.6 都是浮點數。

因為你輸入的 3 和 2 都是整數，所以 Python 認為你同樣想要整數作為答案。所以它會把答案 1.5 取整為比它小且最接近的整數，也就是 1。換句話說，Python 完成了不帶餘數的除法。

要解決這個問題，可以這樣試試看：

>>> print 3.0 / 2

1.5

 

這樣就好多了！如果把兩個數中的任何一個作為小數輸入，Python 就會知道你想在答案中保留小數部分。

整除

在 Python 2 中，做除法的方式稱為“整除”（floor division）。但 Python 3 的工作方式不一樣，在 Python 3 中，如果你使用常規的除法操作符（前斜杠“/”），則做的是常規除法，而不是整除。

 

>>> print 3/2

1.5

要在 Python 3 中做整除，需要使用兩個前斜杠（//）：

 

>>> print 3//2

1

這是 Python 2 和 Python 3 最顯著的區別之一，也是導致很多 Python 2 程式與 Python 3 程式不相容的原因。

　

切記！

要記住 Python 2 的這種整除行為。這很重要，很多 Python 程式師（包括我自己）都曾經因為忘記這一點犯過錯。

 

3.2　操作符

+、-、* 和 / 符號都稱為操作符。這是因為它們會“操作”或處理放在符號兩邊的數位。= 號也是一個操作符，這稱為賦值操作符（assignment operator），因為我們用它為一個變數賦值。

注意！這個詞有意思！

操作符（operator）就是會對它兩邊的東西有影響或者有“操作”的符號。這種影響可能是賦值、檢查或者改變一個或多個這樣的東西。

完成算數運算的 +、-、* 和 / 符號都是操作符。

所操作的東西稱為運算元（operand）。

 

3.3　運算順序

下面哪一個正確？

2 + 3 * 4 = 20

 

還是

2 + 3 * 4 = 14

 

這要看你採用什麼順序來計算。如果先做加法，會得到

2 + 3 = 5，

 

然後得到

5 * 4 = 20

 

如果先做乘法，就會得到

3 * 4 = 12，

 

然後是

2 + 12 = 14

 

第二個順序是正確的，所以正確答案是 14。在數學中有一種運算順序（order of operation），指定了先計算哪些操作符，後計算哪些操作符，而不管它們的書寫順序如何。

在我們的這個例子中，儘管 + 號在 * 號前面，但是應當先算乘法。Python 會遵循正確的數學規則，所以它會先做乘法再做加法。可以在交互模式中試試看，看看能不能得到這個結果：

>>> print 2 + 3 * 4

14

 

Python 使用的順序與你在數學課上學到的（或者將要學到的）規則完全相同。指數運算最優先，然後是乘除，再後面是加減運算。

如果希望改變運算順序，先完成某個運算，只需要在它兩邊加上括弧（圓括號），比如：

>>> print (2 + 3) * 4

20

 

這一次，Python 會先做 2 + 3（因為有括弧），可以得到 5，然後再做乘法 5 * 4，得到 20。

再強調一次，這與數學課上講的是一樣的。Python（和所有其他程式設計語言）都會遵循正確的數學規則和運算順序。

 

3.4　另外兩個操作符

還有兩個算術操作符要告訴你。程式中需要的 99% 的操作符就是這兩個操作符再加上前面剛講的 4 個基本操作符。

指數——自乘為一個冪

如果把 3 乘 5 次，可以寫成

>>> print 3 * 3 * 3 * 3 * 3

243

 

不過，這就等同於 35，或者“3 的指數為 5”，也就是“3 的 5 次冪”。Python 用一個雙星號表示指數或者將一個數自乘為一個冪。

>>> print 3 ** 5

243

 

切記！

很多語言和程式可能使用其他符號來表示自乘為一個冪。一種常用的符號是 ^（例如 3^5）。如果在 Python 中使用這個符號，你不會得到一個錯誤消息，只不過答案不正確。（這是因為，^ 在 Python 中另有含義————我們可不希望這樣！）這個問題可能很難調試。一定要使用 ** 操作符表示自乘為一個冪 [ 也稱為求冪（exponentiation）]。

之所以使用指數而不是直接做多次乘法，這是因為鍵入時會更容易一些。不過更重要的原因是，利用 ** 還可以用非整數作為指數，如下：

>>> print 3 ** 5.5

420.888346239

 

要想利用乘法來做到這一點可不容易。

取餘——求餘數

在 Python 中第一次嘗試除法時，我們已經看到，如果將兩個整數相除，Python 2 會給你一個整數答案。（Python 3 使用 // 操作符。）也就是說，它在完成整數除法。不過，在整數除法中，答案實際上有兩部分。

還記得剛開始學除法嗎？如果兩個數不能整除，最後會得到一個餘數（remainder）：

7 / 2 = 3，餘數是 1

 

7 / 2 的答案中有一個商（quotient），在這裡就是 3，還有一個餘數（remainder），這裡的餘數是 1。如果在 Python 中將兩個整數相除，它會給你商。不過餘數呢？

Python 有一個特殊的操作符來計算整數相除的餘數。這稱為取餘（modulus）操作符，這個符號是百分號（%）。可以像這樣使用：

>>> print 7 % 2

1

 

所以如果同時使用 / 和 %，就可以得到整數相除的完整答案：

>>> print 7 / 2

3

>>> print 7 % 2

1

 

可以看到，7 除以 2 得 3，餘數是 1。如果做浮點數除法，會得到小數答案：

>>> print 7.0 / 2

3.5

 

　

實際上，既然你提到了這一點，應該說操作符和操作員確實很接近……就像老式電話接線員連接電話一樣，算術操作符按同樣的方式把數位連接在一起。

我想告訴你的還有另外兩個操作符。我知道，我剛才已經說過只再講兩個，不過別擔心，這兩個操作符非常容易！

自增和自減

還記得上一章中的例子：score = score + 1 嗎？我們說過，這稱為自增（incrementing）。與它類似的是 score = score - 1，這稱為自減（decrementing）。這些運算在程式設計中經常出現，因此有自己專門的操作符：+=（自增）和 -=（自減）。

可以像這樣使用：

或者：

其中第一個例子將 number 增 1（這會從 7 變成 8）。第二個例子將 number 減去 1（從 7 變成 6）。

3.5　非常大和非常小

還記得第 1 章中將兩個非常大的數相乘嗎？我們得到的答案也是一個非常大的數。

有時 Python 會用一種稍微不同的方式顯示非常大的數。可以在交互模式中試試看：

>>> print 9938712345656.34 * 4823459023067.456

4.79389717413e+025

>>> 

 

（具體鍵入什麼數並不重要——任何包含小數的大數值都可以。）

這個 e 是電腦中顯示非常大或非常小的數時採用的一種方法。這叫做 E 記法（E-notation）。處理非常大（或非常小）的數時，要把所有數位以及小數位都顯示出來可能很費勁。這種數在數學和科學領域經常出現。例如，如果一個天文程式要顯示從地球到 Alpha Centaur 星的公里數，可能會顯示為 38000000000000000 或者 38 000 000 000 000 000（38 後面有 15 個 0）。不論哪種方式，數完所有這些 0 都會讓你累得夠嗆。

顯示這些數還有另一種方式，就是使用科學計數法（scientific notation），就是一個小數再乘以一個 10 的冪。在科學計數法中，地球到 Alpha Centauri 的距離可以寫作：3.8 × 10¹⁶（看到了嗎，16 抬高了，而且要小一點）。這讀作“3.8 乘以 10 的 16 次冪”或者“3.8 乘以 10 的 16 次方”。它的意思就是，把 3.8 的小數點向右移 16 位，並在這個過程中根據需要補 0。

如果可以像這裡一樣，把 16 寫作指數，稍稍抬高一點，再寫得小一點，科學計數法就很適用。如果你用紙和筆，或者使用一個支援上標的程式，就可以用科學計數法。

術語箱

上標（superscript）是指一個字元或一組字元比其餘文本高一些，例如 10¹³。這裡的 13 就是上標。通常上標還要比正文小一點。

下標（subscript）也類似，不過這些字元會比其餘文本低，同樣也會小一點， 比如 log₂。這裡的 2 就是一個下標。

不過並不是哪裡都能使用上標，所以還有另一種方法，就是 E 記法。E 記法只是科學計數法的另一種寫法。

E 記法

在 E 記法中，這個數要寫作 3.8E16 或者 3.8e16。讀作“3.8 指數 16”或者簡讀作“3.8 e 16”。這裡假設指數是 10 的冪。這就等同于寫成 3.8×10¹⁶。

 
在大多數程式和電腦語言（包括 Python）中，大寫和小寫 E 都是 允許的。

對於非常小的數，如 0.0000000000001752，可以使用一個負指數。科學計數法會寫作 1.752×10^-13，E 記法會寫作 1.752e-13。負指數表示要把小數點向左移而不是向右移。

採用 E 記法，可以在 Python 中輸入非常大和非常小的數（或者可以是任何數）。後面我們還會學習如何讓 Python 使用 E 記法打印數。

試試採用 E 記法輸入一些數：

>>> a = 2.5e6

>>> b = 1.2e7

>>> print a + b

14500000.0

 

儘管我們用 E 記法輸入了數，但得出的答案卻是一個常規的小數。這是因為，除非你特別要求，或者數字確實非常大或非常小（有很多個 0），否則 Python 不會用 E 記法顯示數位。

可以試試看：

>>> c = 2.6e75

>>> d = 1.2e74

>>> print c + d

2.72e+75

 

這一次 Python 會自動用 E 記法顯示答案，因為顯示一個有 73 個 0 的數太不可思議了！

如果希望用 E 記法顯示類似 14 500 000 的數，需要給 Python 下達一些特殊的指令。我們將在本書的第 21 章學習更多相關內容。

別擔心，放鬆點

如果你還不太理解 E 記法到底是怎麼回事，不用擔心。這本書後面的程式中不會用到它。我只是想讓你瞭解一下它的原理，沒准以後你會用到。

如果使用 Python 來完成一些數學運算，得到的答案是一個類似 5.673745e16 的數，至少現在你知道這是一個非常大的數，而不是出現了什麼錯誤。

指數與 E 記法

不要把自乘得到冪（也稱為求冪）和 E 記法弄混了。

·    3**5 表示 3⁵，或“3 的 5 次冪”，也就是 3 * 3 * 3 * 3 * 3，等於 243。

·    3e5 表示 3 * 10⁵ 或者“3 乘以 10 的 5 次冪”，也就是 3 * 10 * 10 * 10 * 10 *10，結果等於 300 000。

·    求冪是指一個數自乘得到冪。E 記法表示乘以 10 的幾次冪。

有些人可能會把 3e5 和 3**5 都讀作“3 指數 5”，不過，它們是完全不同的。怎麼讀並不重要，只要你懂得它們分別代表什麼含義。

你學到了什麼

在這一章，你學到了以下內容。

·    用 Python 如何完成基本數學運算。

·    整數和浮點數。

·    求冪（自乘得到一個冪）。

·    如何計算取餘（餘數）。

·    E 記法的有關內容。

測試題

1. Python 中乘法使用哪個符號？

2. Python 計算 8 / 3 的答案是什麼？

3. 怎麼得到 8 / 3 的餘數？

4. 怎麼得到 8 / 3 的小數結果？

5. Python 中計算 6 * 6 * 6 * 6 的另一種做法是什麼？

6. 採用 E 記法，17 000 000 要寫作什麼？

7. 4.56e-5 如果按常規的寫法是什麼（不是 E 記法）？

動手試一試

1. 使用交互模式或者編寫一個小程式解決下面的問題。

　(a) 3 個人在餐廳吃飯，想分攤飯費。總共花費 35.27 美元，他們還想留 15% 的小費。每個人該怎麼付錢？

　(b) 計算一個 12.5m×16.7m 的矩形房間的面積和周長。

2. 寫一個程式，把溫度從華氏度轉換為攝氏度。轉換公式是 C = 5 / 9* (F-32)。（提示：當心整除問題！）

3. 你知道怎麼計算坐車去某個地方需要花多長時間嗎？相應的公式（用文字表述）是“旅行時間等於距離除以速度”。編寫一個程式，計算以 80 km/h 的速度行駛 200 km 需要花多長時間，並顯示答案。